Indução

indução sf 1. Ação ou efeito de induzir; 2. Lóg estabelecimento de uma proposição geral a partir do conhecimento de certo número de dados sigulares.

AMORA, Soares. MINIDICIONÁRIO: Soares Amora. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009.

O que é pensamento indutivo?

Um pensamento indutivo nada mais é que a generalização de um fenômeno singular para um universal. Parece complicado, mas não é. Ao contrário, é simples, basta pensarmos por exemplo, em uma torradeira. Quando ligada, sabemos por experiência que não devemos por a mão numa torradeira quente, posto que poderemos queimá-la e queimaduras não são boas; doem. O ser humano naturalmente evita a dor, logo evita de por a mão em uma torradeira aquecida.

Você já pôs a mão em uma torradeira quente? Muitas crianças já fizeram isso (inclusive eu), e naturalmente, após sentirem dor, aprendem a não por mais a mão em torradeiras quentes. Se essa mesma criança ver uma outra torradeira, logo vai associá-la à anterior e pensar duas vezes antes de por a mão nela. Isso não só ocorre para a próximo torradeira, mas muito provavelmente para qualquer outra que aparecer por ai. Temos aí que a criança aprendeu por indução a não por a mão em nenhuma torradeira quente. Ela partiu de um objeto, deu-lhe um sentido que fosse geral para todos os demais; aqueles que compartilham da mesma natureza.

 

 

É como uma fileira de dominós. Se você empurra  o primeiro, o efeito de queda é condição suficiente para a queda do segundo dominó. Assim segue a causalidade e você logo conclui o que ocorrerá com a última peça; ela fatalmente cai. Esse é o famoso efeito dominó.

Indução finita

Já falamos sobre o problema dos corvos pretos. Vejo um corvo aqui; é preto. Vejo mais um bocado alí; são pretos. Mas basta um corvo branco na Rússia para que o mesmo invalide meu argumento de que todos os corvos são pretos. A hipótese de que todos os corvos são pretos é uma indução. A matemática tem um nome especial dentro de suas operações chamado indução finita. Longe de poder resolver o problema dos corvos tão facilmente, o princípio da indução finita ainda é de grandiosa valia.

O raciocínio funciona mais ou menos da seguinte forma: se você é capaz de provar que uma propriedade $P(n)$, onde $n \in \mathbb{N}$;

É válida para $P(1)$ e para $P(k)$, então vale também $P(k + 1)$.

Logo, $P(n)$ é válida para qualquer $n \geq 1$.

Em termos lógicos, podemos enunciar a indução finita da seguinte forma:

$(\forall P)[[P(0)\wedge (\forall k \in \mathbb{N})(P(k)\Rightarrow P(k+1))]\Rightarrow(\forall n \mathbb \in {N})[P(n)]]$

Onde $P$ é uma propriedade qualquer, $n$ e $k$ são números naturais.

A sentença anterior resume o que foi dito, mas de uma forma matemática. Vamos por exemplo ilustrar tal princípio com uma progressão aritmética.

1. Vamos provar que $P(n)$ é verdadeira para $P(1)$:

$P(1)=\sum_{i=1}^{1}i=\frac {1.(1+1)}{2}=1$

2. Vamos provar que se $P(n)$ é verdadeira, então $P(n+1)$ também é:

$P(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}i=\frac {(n+1).(n+1+1)}{2}$

$P(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}i=1+2+...+n+(n+1+1)$; note que $1+2+...+n=\sum_{i=1}^{n}i$

$P(n+1)=\sum_{i=1}^{n}i+(n+1)=\frac {n(n+1)}{2}+(n+1)$

Pronto, aí está a prova por indução finita que a fórmula da soma de uma progressão aritmética é válida para qualquer número real. A fórmula geral (que foi usada), contudo é deduzida de outra forma; muito conhecida e atribuída a Gauss.

Cálculo: matemática para todos, ano I, dezembro de 2011, p. 27 (“Dedinhos em Ferro Quente”).

Wikipedia: the free encyclopedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_induction, 16 de janeiro de 2012.